卒業研究(福井研究室)

相談日: 火曜以外の随時 希望者は必ず相談にきてください。



卒業研究では、特異点論およびその関連分野を学習します。 特異点論とは、関数や写像の特異点を扱う理論で、 微積分の授業で扱う極値問題で習った技法を 現代的にしたものと言ってもよいでしょう。 要は特異点をどう扱うかという技法なのですが、 その関連分野は非常に幅広いものがあります。 例えば、
  1. 多項式の零点集合を調べるという意味で代数幾何学、
  2. 高さ関数や距離関数の特異点を調べるという意味で微分幾何学、
  3. 特異点近傍のトポロジーを調べるという意味で位相幾何学、
  4. 微分方程式の解の分岐を調べるという意味で微分方程式論、
  5. 座標変換で不変なものを探求するという意味で表現論や不変式論
等と関連があります。応用数学とも関連があります。 微分位相幾何学の経済学への応用や、機械学習の理論を、 特異点論の応用数学への応用の例として挙げておきます。 卒業研究では、学生の希望を勘案して、 これらから(またはこれら以外から)一つのトピックを選びます。

予備知識としては、1,2年の微積分と線形代数の内容を習得している事が必要です。 それ以外に必要とする知識は、どのトピックを選ぶかで変わってきますが, 数学科2年生くらいまでの内容を習得していれば、随時補充可能です。


教科書は希望者と相談して決めますが 例えば以下のリストにある本が候補になるでしょう。 相談の結果下記以外の本を教科書とする場合もあります。

過去のテキスト

  1. G.-M. Greuel and G.Pfister, A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer
  2. 梅原雅顕 著 特異点を持つ曲線と曲面の幾何学, Seminor on Mathematical Sciences 38 慶應大学
  3. V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, MIT
  4. Yung-Chen Lu, Singularity theory and an introduction to catastrophe theory, Universitext, Springer-Verlag

参考図書
  1. 特異点の数理1. 幾何学と特異点 共立出版
    第I部「微分幾何学と特異点」泉屋周一,佐野貴志 著
    第II部「微分位相幾何学と特異点」佐伯修,佐久間一浩 著

  2. 特異点の数理2. 特異点と分岐 共立出版
    第I部「特異点とマザー理論」西村尚史 著
    第II部「分岐理論と特異点」福田拓生 著

  3. 特異点の数理3. 解析関数と特異点 共立出版
    第I部「特異点とニュートン図形」吉永悦男, 福井敏純 著
    第II部「特異点と解析的局所環」泉脩藏 著

  4. 特異点の数理4. 代数曲線と特異点 共立出版
    第I部「基本群と特異点」徳永浩雄, 島田伊知朗 著
    第II部「実代数幾何学と特異点」石川剛郎, 齋藤幸子, 福井敏純 著

  5. 泉屋周一,石川剛郎 著 [1998], 応用特異点論, 共立出版

  6. ミルナー著、佐伯修・佐久間一浩 訳, 複素超曲面の特異点, シュプリンガー・フェアラーク東京

  7. 野口広・福田拓生著 [1976], 初等カタストロフィー, 共立出版


英文に挑戦してもよいなら例えば次のような本があります。
  1. C.G.Gibson [1979], Singular points of smooth mappings, Research Notes in Math 25, Pitman

  2. J.Martinet [1982], Singularities of smooth functions and maps, London Math. Soc. Lecture Notes 58, Cambridge University Press

  3. T.Banchoff, T.Gaffney and C.McCrory [1982], Cusps of Gauss Mappings, Research Notes in Math 55, Pitman

  4. E.Looijenga [1984], Isolated singular points of complete intersections, London Math. Soc. Lecture Notes 77, Cambridge University Press

  5. J.W.Bruce and P.J.Giblin [1984,1992], Curves and Singularities, Cambridge University Press

  6. K.Lamotke [1986], Regular Solids and Isolated Singularities, Advanced lectures in mathematics, Vieweg & Sohn

  7. A.Dimca [1987], Topics on real and complex singularities, Advanced lectures in mathematics, Vieweg & Sohn

  8. M.Oka [1997], Non-degenerate complete intersection singularity, Actualits Mathmatiques, Hermann

  9. M.Demazure [2000], Bifurcatios and catastrophes, Geometry and solutions to nonlinear problems, Universitext, Springer

  10. T.de Jong, G.Pfister [2000], Local analytic geometry, Advanced lectures in Mathematics, Vieweg