卒業研究(福井研究室)
相談日:
火曜以外の随時
希望者は必ず相談にきてください。
卒業研究では、特異点論およびその関連分野を学習します。
特異点論とは、関数や写像の特異点を扱う理論で、
微積分の授業で扱う極値問題で習った技法を
現代的にしたものと言ってもよいでしょう。
要は特異点をどう扱うかという技法なのですが、
その関連分野は非常に幅広いものがあります。
例えば、
- 多項式の零点集合を調べるという意味で代数幾何学、
- 高さ関数や距離関数の特異点を調べるという意味で微分幾何学、
- 特異点近傍のトポロジーを調べるという意味で位相幾何学、
- 微分方程式の解の分岐を調べるという意味で微分方程式論、
- 座標変換で不変なものを探求するという意味で表現論や不変式論
等と関連があります。応用数学とも関連があります。
微分位相幾何学の経済学への応用や、機械学習の理論を、
特異点論の応用数学への応用の例として挙げておきます。
卒業研究では、学生の希望を勘案して、
これらから(またはこれら以外から)一つのトピックを選びます。
予備知識としては、1,2年の微積分と線形代数の内容を習得している事が必要です。
それ以外に必要とする知識は、どのトピックを選ぶかで変わってきますが,
数学科2年生くらいまでの内容を習得していれば、随時補充可能です。
教科書は希望者と相談して決めますが
例えば以下のリストにある本が候補になるでしょう。
相談の結果下記以外の本を教科書とする場合もあります。
過去のテキスト
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G.-M. Greuel and G.Pfister,
A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer
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梅原雅顕 著 特異点を持つ曲線と曲面の幾何学,
Seminor on Mathematical Sciences 38 慶應大学
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V. Guillemin and A. Pollack,
Differential Topology, MIT
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Yung-Chen Lu,
Singularity theory and an introduction to catastrophe theory,
Universitext, Springer-Verlag
参考図書
- 特異点の数理1. 幾何学と特異点 共立出版
第I部「微分幾何学と特異点」泉屋周一,佐野貴志 著
第II部「微分位相幾何学と特異点」佐伯修,佐久間一浩 著
- 特異点の数理2. 特異点と分岐 共立出版
第I部「特異点とマザー理論」西村尚史 著
第II部「分岐理論と特異点」福田拓生 著
- 特異点の数理3. 解析関数と特異点 共立出版
第I部「特異点とニュートン図形」吉永悦男, 福井敏純 著
第II部「特異点と解析的局所環」泉脩藏 著
- 特異点の数理4. 代数曲線と特異点 共立出版
第I部「基本群と特異点」徳永浩雄, 島田伊知朗 著
第II部「実代数幾何学と特異点」石川剛郎, 齋藤幸子, 福井敏純 著
-
泉屋周一,石川剛郎 著 [1998], 応用特異点論,
共立出版
-
ミルナー著、佐伯修・佐久間一浩 訳,
複素超曲面の特異点, シュプリンガー・フェアラーク東京
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野口広・福田拓生著 [1976], 初等カタストロフィー,
共立出版
英文に挑戦してもよいなら例えば次のような本があります。
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C.G.Gibson [1979], Singular points of smooth mappings,
Research Notes in Math 25, Pitman
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J.Martinet [1982], Singularities of smooth functions and maps,
London Math. Soc. Lecture Notes 58, Cambridge University Press
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T.Banchoff, T.Gaffney and C.McCrory [1982], Cusps of Gauss Mappings,
Research Notes in Math 55, Pitman
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E.Looijenga [1984], Isolated singular points of complete intersections,
London Math. Soc. Lecture Notes 77, Cambridge University Press
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J.W.Bruce and P.J.Giblin [1984,1992], Curves and Singularities,
Cambridge University Press
-
K.Lamotke [1986], Regular Solids and Isolated Singularities,
Advanced lectures in mathematics, Vieweg & Sohn
-
A.Dimca [1987], Topics on real and complex singularities,
Advanced lectures in mathematics, Vieweg & Sohn
-
M.Oka [1997],
Non-degenerate complete intersection singularity,
Actualits Mathmatiques, Hermann
-
M.Demazure [2000],
Bifurcatios and catastrophes, Geometry and solutions to nonlinear
problems, Universitext, Springer
-
T.de Jong, G.Pfister [2000],
Local analytic geometry,
Advanced lectures in Mathematics, Vieweg