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下川 航也

2012.02.11 更新

卒業研究の内容

卒業研究では、主に、結び目理論、 低次元多様体論(3,4次元多様体論など)やその他を1年間かけて勉強する。 希望があれば、研究分野はそれ以外でも構わない。
この分野の性質上、候補となる教科書は英語が多く、 普通は英語のテキストが選ばれる。 教科書は、セミナーの希望者の全員の総意で選ばれる。 (いくつかの教科書を使うことも可。) 大学院志望者がいる場合には、その意見は尊重されることが多い。 (というか、こちらで教科書を指定する場合もある。)
今年度使用している教科書は以下の通り。来年度分は未定。

教科書の候補

  • レクチャー結び目理論 / 河内明夫及び
  • Knots and links / D. Rolfsen

過去に使用した教科書

大学院に上がる人向けの教科書… 大学院に上がらない人向けの教科書…

(あくまで目安。難易度やその後すぐに研究に移れるか等による。)

2008年度レクチャー結び目理論 / 河内明夫院、 及び Knots and links / D. Rolfsen

  • 内容`レクチャー結び目理論'では最近の話題も含めた結び目理論、 `Knots and links'ではgeometric topologyの理論を扱う。(人数:5名、難易度: ☆☆ & ☆☆☆)

2007年度 3次元多様体入門 / 森元勘治

  • 内容3次元多様体論(人数: 1名 難易度: ☆☆)

2006年度 Knots and links / D. Rolfsen  及び Introduction to knot theory / R.H. Crowell and R.H. Fox

  • 内容3次元多様体論および結び目理論(人数: 2名 難易度: ☆☆☆)

2005年度 Knots and links / P. Cromwell

  • 内容結び目理論(人数: 2名 難易度: ☆☆)
  • 解説結び目理論の教科書の一番新しいの本(当時。2004年出版)。 出来れば初めはざっと流して、どんどん進みたい。 最近の話題が多い。
  • 必要とする知識等アイソトピーの概念など。

2004年度 The knot book / C.C. Adams (日本語訳あり)

  • 内容結び目理論(人数: 4名  難易度: ☆☆)
  • 解説結び目理論の最近の本。面白い話題が満載だが、定義が無いため、 自分で一から定義していくことが必要となる。 最近の話題にふれられる。
  • 必要とする知識等結び目等の正確な定義を、他の本で調べられること。

2003年度 Knots and links / D. Rolfsen 

  • 内容3次元を中心とした幅広い低次元トポロジー、結び目理論(人数: 4名 難易度: ☆☆☆)
  • 解説この分野の定番的な教科書。昔は皆これを読んでいたと思われる。 1976年発行のため、その後の話題はない。 内容が非常に豊富なため、1年では終わらない。 これが4年で読めれば、なかなか。
  • 必要とする知識等基本群(Van Kampenの定理)、ホモロジー(Mayer-Vietorisの定理)、 被覆空間の知識、ホモトピー群の定義、群の計算能力他。

その他の教科書の候補

他に候補になる教科書は、結び目理論、3次元多様体論、 3次元双曲幾何関連、4次元多様体論などが中心になると思われる。 ここに挙げるものは、難易度が高いものが多い。

The arithmetic of hyperbolic 3-manifolds / C. Maclachlan and A.W. Reid 

Graduate Texts in Mathematics, 219. Springer-Verlag, New York, 2003. xiv+463 pp. ISBN: 0-387-98386-4

  • 内容3次元双曲多様体を数論を用いて研究(難易度: ☆☆☆)
  • 必要とする知識等3次元多様体、3次元双曲多様体、クライン群、数論他。

Algorithmic and computer methods for three-manifolds / A.T. Fomenko and S.V. Matveev 

Translated from the 1991 Russian original by M. Tsaplina and Michiel Hazewinkel and revised by the authors. With a preface by Hazewinkel. Mathematics and its Applications, 425. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1997. xii+334 pp. ISBN 0-7923-4770-6

  • 内容3次元多様体のトポロジー(難易度: ☆☆)
  • 必要とする知識等基本群(Van Kampenの定理)、ホモロジー(Mayer-Vietorisの定理)他。

Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. / W.P. Thurston (日本語訳あり) 

Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN: 0-691-08304-5

  • 内容3次元双曲多様体論(難易度: ☆☆☆)
  • 必要とする知識等多様体論他

4-manifold and Kirby calculus / Robert E. Gompf and Andras I. Stipsicz 

Graduate Studies in Mathematics, 20. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xvi+558 pp. ISBN: 0-8218-0994-6

  • 内容4次元多様体論(難易度: ☆☆☆)
  • 必要とする知識等多様体論、特性類他。
  • コメントKirby calculusのところだけ拾い読みするのは良いかも。

多面体 (Polyhedra)/ P.R. クロムウェル著、 下川 航也/平澤 美可三/松本 三郎/丸本 嘉彦/村上 斉 訳 

シュプリンガー・フェアラーク東京 B5変 並製 437頁 本体 4,500+税 ISBN 4-431-70925-8 CコードC3041

  • 内容多面体をいろいろな側面から研究(難易度: ☆)
  • 必要とする知識等特になし

3次元の幾何学 / 小島 定吉 

講座 数学の考え方 22 朝倉書店 ; ISBN: 4254116020 191 p ; サイズ(cm): 21 x 15

  • 内容3次元多様体を双曲構造などの幾何構造を用いて研究(難易度: ☆☆)
  • 必要とする知識等多様体論

結び目理論概説 (An Introduction to Knot Theory)/ 著者 W.R. リコリッシュ, 秋吉 宏尚/塩見 真枝/下川 航也/高向 崇/田中 利史/平澤 美可三/松本 三郎/丸本 嘉彦/村上 斉 訳 

シュプリンガー・フェアラーク東京 A5 並製 293頁 本体 4,000円+税 ISBN 4-431-70859-6 CコードC3041 (An introduction to knot theory / W. B. Raymond Lickorish, Graduate Texts in Mathematics, 175. Springer-Verlag, New York, 1997. x+201 pp. ISBN: 0-387-98254-X)

  • 内容最近書かれた結び目理論の入門書。不変量関連が多い。 原著で読んでも良い。(難易度: ☆☆)
  • 必要とする知識等特になし

Classical tessellations and three-manifolds/ J.M. Montesinos (日本語訳あり) 

Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1987. xviii+230 pp. ISBN: 3-540-15291-1

3次元多様体入門 / 森元勘治 

培風館 1996年

Differential forms in Algebraic topology/ R. Bott and L.W. Tu  

  • 内容De Rham Theoryから始まる代数的位相幾何学。

結び目理論入門 / 鈴木晋一

サイエンス社 1991年

卒業後の進路

埼玉大学大学院理工学研究科、 東京大学大学院数理科学研究科、 京都大学大学院理学研究科、
東北大学大学院情報科学研究科、 東北大学大学院理学研究科、 東京工業大学大学院理工学研究科、他