スタッフ紹介
高橋 悠樹 / Yuki Takahashi
研究分野
スペクトル理論、力学系、フラクタル幾何学
研究概要
力学系の手法を用いて、スペクトル理論やフラクタル幾何学に自然に現れる問題を研究しています。最近は行列のランダム積に関連する問題を主に考えています。これは、大雑把に言えば、「いくつかの行列を用意しそれをランダムに掛け合わせたときどのような振る舞いを示すか」というものです。確率論や群上のランダムウォーク、エルゴード理論やフラクタル幾何学などの多彩な手法が交わる興味深いテーマです。
主要論文・著書・学会発表
【主要論文】
Y. Takahashi, Products of two Cantor sets, Nonlinearity 30 2114-2137 (2017).
Y. Takahashi, Sums of two homogeneous Cantor sets, Trans. Amer. Math. Soc. 372 1817-1832 (2019).
B. Solomyak, Y. Takahashi, Diophantine properties of matrices and attractors of projective iterated function systems in RP^1, to appear in Int. Math. Res. Not.
【主要学会発表】
Y. Takahashi, On a class of Cantor sets that appear in dynamics but are not dynamically defined, Workshop on Dynamical Systems and Related Topics, Maryland, 2017.
Y. Takahashi, Sums and products of Cantor sets and separable two-dimensional quasicrystal models, Fractal Geometry and Dynamics, Djursholm, 2017.
Y. Takahashi, Diophantine properties of matrices and absolute continuity of the Furstenberg measure, Random matrices and Anderson Localization, Banff, 2019.
卒業研究
①卒業研究の内容
トピックに関しては、学生の興味・関心に応じて相談の上決めたいと思います。具体的には以下のようなものを考えています：
(1) 確率論
(2) 関数解析
(3) 力学系
(4) ポテンシャル理論
(5) エルゴード理論
②教科書の候補
教科書としては、例えば以下のような候補があります：
(1) Probability: Theory and Examples (Rick Durrett)
(2) ヒルベルト空間と量子力学（新井朝雄）
(3) Dynamical Systems（Luis Barreira & Claudia Valls）
(4) Potential Theory in the Complex Plane (Thomas Ransford)
(5) Ergodic Theory with a view towards Number Theory (Manfred Einsiedler & Thomas Ward)
高校生、学部学生へのメッセージ
数学に限らず全てのことに言えることですが、上達するためにはどれだけ時間を掛けたかが全てです（自戒を込めて）。たとえ大学卒業後に数学とは全く違う道に進むとしても、学部時代に真剣に数学に打つ込んだ経験は必ず役に立ちます。そう信じて、是非前向きに楽しみながら数学を学んで欲しいと思います。
また、将来何をやるにせよ、英語が自由に操れるようになっておくことは非常なアドバンテージとなります。学生時代に英語をしっかりと学んでおくこと、そして機会があれば海外留学にも積極的にチャレンジすることを強く勧めます。
学生時代はなんでも思いっきりやりたいことができる貴重な時間です。勉強だけではなく、サークル活動やアルバイトや恋愛や海外旅行など、興味をもったことにはどんどんチャレンジして有意義な学生生活を送って欲しいと思います。
