福井 敏純 / Toshizumi Fukui

研究分野

特異点論

研究概要

特異点をキーワードに研究してきた．研究を開始した頃はただ関数の特異点の研究をしていると言う意識であったが，研究が進むにつれ特異点論はいろんな数学が交錯する分野であることに気がついた．その後は，多様体間の写像の特異点型が多様体の位相に与える制約や，悪い特異点の摂動から表れる良い特異点の研究，特異点を持つ曲面の微分幾何的な研究，微分方程式の解の分岐などを研究してきている．

主要論文・著書・学会発表

【主要論文】

T. Fukui and M. Hasegawa, Singularities of parallel surfaces, Tohoku Math. J 64 (2012) 387–408.

N. Dutertre and T. Fukui, On the topology of stable maps, J of Math Soc. Japan 66 (2014), 161--203.

G. Fichou and T. Fukui, Motivic invariant of polynomial function and Newton polyhedron, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 160 (2016), 141—166.

C. Bivia Ausina and T. Fukui, Invariants for bi-Lipschitz equivalence of ideals, Quart. J. of Math. 68 (2017), 791–815

J-B Campesato, T Fukui, K Kurdyka and A Parusinski, Arc spaces, motivic measure and Lipschitz geometry of real algebraic sets, Math. Ann. 374 (2019), 211–251.

【著書】

石川剛郎・斎藤幸子・福井敏純, 特異点の数理第4巻，代数曲線と特異点，第II部「実代数幾何学と特異点」—ヒルベルト第16問題とその周辺—, 共立出版, 2001年7月

福井敏純・吉永悦男，特異点の数理第3巻，特異点と解析関数，第I部「特異点とニュー トン図形」共立出版，2002年3月

福井敏純，曲線と曲面の基礎・基本，理工系数学の基礎・基本 15，牧野書店 2015年6月

卒業研究

①卒業研究の内容

卒業研究では、特異点論およびその関連分野を学習します。特異点論とは、関数や写像の特異点を扱う理論で、 微積分の授業で扱う極値問題で習った技法を現代的にしたものと言ってもよいでしょう。要は特異点をどう扱うかという技法なのですが、 その関連分野は非常に幅広いものがあります。例えば、
●多項式の零点集合を調べるという意味で代数幾何学
●高さ関数や距離関数の特異点を調べるという意味で微分幾何学
●特異点近傍のトポロジーを調べるという意味で位相幾何学
●微分方程式の解の分岐を調べるという意味で微分方程式論
●座標変換で不変なものを探求するという意味で表現論や不変式論
等と関連があります。特異点論の応用数学への応用の例としては、微分位相幾何学の経済学への応用や、機械学習の理論を挙げておきます。卒業研究では、学生の希望を勘案して、これらから（またはこれら以外から）一つのトピックを選びます。予備知識としては、1、2年の微積分と線形代数の内容を習得している事が必要です。それ以外に必要とする知識は、どのトピックを選ぶかで変わってきますが、 数学科2年生くらいまでの内容を習得していれば、随時補充可能です。

②教科書の候補

テキストは希望者と相談して決めることになります。過去のテキストを参考に掲げておきます。
過去のテキスト
●J. Bochnak, M.Coste, M.-F. Roy, Real Algebraic Geometry, Springer-Verlag 1998
●野口広，福田拓生著, 初等カタストロフィー, 共立全書208 共立出版1976
●西川青季著 等長地図はなぜできない 日本評論社 2014
●井ノ口順一著 曲面と可積分系 現代基礎数学18 朝倉書店 2015
●広中平祐講 森重文記 代数幾何学 京都大学学術出版会
●G.-M. Greuel and G.Pfister, A Singular Introduction to Commutative Algebra, Springer
●梅原雅顕著 特異点を持つ曲線と曲面の幾何学, Seminar on Mathematical Sciences 38 慶應大学
●V. Guillemin and A. Pollack, Differential Topology, MIT
●Yung-Chen Lu, Singularity theory and an introduction to catastrophe theory, Universitext, Springer-Verlag